Angulos Opostos pelo Vertice

Ângulos opostos pelo vértice são os dois ângulos que ficam de frente um para o outro quando duas retas se cruzam. Eles têm o mesmo vértice, mas nenhum lado em comum, e são sempre iguais. Todo cruzamento forma dois pares deles. Se um ângulo de um X mede 40 graus, o ângulo bem à frente dele também mede 40, e os outros dois medem 140 cada.

Este é um dos resultados mais antigos da geometria. Euclides o incluiu nos Elementos como Livro I, Proposição 15. O comentador grego Proclo, que escreveu mais de 700 anos depois, transmitiu uma afirmação de Eudemo de Rodes segundo a qual Tales de Mileto teria descoberto o fato primeiro, no século VI a.C., e Euclides teria sido quem lhe deu uma demonstração adequada.

Hoje é conteúdo do 7º ano nos Estados Unidos. O padrão 7.G.B.5 do Common Core pede que os alunos usem propriedades de ângulos suplementares, complementares, opostos pelo vértice e adjacentes para escrever e resolver equações com um ângulo desconhecido.

Por que se chamam ângulos opostos pelo vértice?

Porque têm um vértice em comum. Em português o nome já deixa isso claro, mas em inglês eles se chamam vertical angles, e isso confunde: não quer dizer que apontam para cima e para baixo. A palavra vertical vem do latim vertex, e em inglês ela significava primeiro "no vértice" ou "bem acima da cabeça". O sentido de cima para baixo só aparece registrado em 1704, segundo o Online Etymology Dictionary. As escolas do Reino Unido evitam a confusão chamando esses ângulos de vertically opposite angles.

O nome em inglês engana as pessoas por um bom motivo. Desenhe duas retas cruzadas como um X achatado, com o par de ângulos estreitos abrindo para a esquerda e para a direita, e os ângulos "verticais" ficam deitados. Gire o papel 90 graus e nada neles muda. O que importa é a posição dos ângulos em relação ao vértice, e a orientação na página não tem nada a ver com isso.

Por que ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais?

Porque cada um deles, somado ao mesmo vizinho, forma uma reta. Os ângulos ao longo de uma reta somam 180 graus. Então os dois ângulos de um par oposto valem 180 menos o ângulo que fica entre eles. Duas coisas iguais a uma mesma quantidade são iguais entre si. Essa é a demonstração inteira, e ela funciona para qualquer cruzamento.

Veja com letras, do jeito que Euclides apresentou. A reta AB e a reta CD se cruzam no ponto E.

1. O ângulo AEC e o ângulo CEB ficam lado a lado ao longo da reta AB, então somam 180 graus.
2. O ângulo CEB e o ângulo BED ficam lado a lado ao longo da reta CD, então também somam 180 graus.
3. As duas somas contêm o ângulo CEB. Tire-o de cada uma, e o que sobra tem que ser igual.
4. Logo, o ângulo AEC é igual ao ângulo BED. Os mesmos passos, com o ângulo AED no meio, mostram que o ângulo CEB é igual ao ângulo AED.

Nada nesses quatro passos depende da inclinação das retas. Um cruzamento fechado de 12 graus e um quase reto de 88 graus seguem a mesma regra. Nos Elementos, a proposição é seguida de um corolário, talvez acrescentado por um editor posterior: os quatro ângulos do cruzamento somam quatro ângulos retos, ou seja, 360 graus.

Como encontrar um ângulo oposto pelo vértice que está faltando?

Olhe para o lado oposto do cruzamento. O ângulo em frente ao desconhecido tem a mesma medida, então basta copiá-lo. Se o dado for um ângulo vizinho, subtraia-o de 180. Conhecendo um ângulo, você preenche os quatro: duas cópias dele e duas cópias de 180 menos ele.

Suponha que um ângulo em um cruzamento mede 63 graus. O ângulo oposto mede 63. Os dois vizinhos medem 180 menos 63, ou seja, 117 cada. Confira o total: 63 mais 63 mais 117 mais 117 dá 360. Certo.

Os problemas com álgebra usam essas mesmas duas propriedades, e a única dúvida é qual delas se aplica. Escolha pela posição dos ângulos.

• Um de frente para o outro: iguale as expressões. Se um ângulo mede 3x + 10 e o ângulo oposto mede 5x - 30, então 3x + 10 = 5x - 30, logo 40 = 2x e x = 20. Os dois ângulos medem 70 graus, e o outro par mede 110.
• Lado a lado sobre uma reta: some e iguale a 180. Se os ângulos medem 2x e x + 30, então 3x + 30 = 180, logo x = 50. Os ângulos medem 100 e 80, e os opostos a eles também medem 100 e 80.

O deslize mais fácil é usar a equação errada, então decida "opostos ou lado a lado" antes de escrever qualquer coisa. Em provas do Reino Unido, escreva também a justificativa. O critério de correção do Pearson Edexcel International GCSE de novembro de 2020 inclui "vertically opposite angles are equal" (ângulos opostos pelo vértice são iguais) entre as justificativas que valem ponto de método, então vale a pena escrever a frase completa.

Ângulos opostos pelo vértice são adjacentes ou suplementares?

Nunca adjacentes, e suplementares só em um caso. Ângulos adjacentes têm um lado em comum, e ângulos opostos pelo vértice têm em comum apenas o vértice. Eles somam 180 só quando cada um mede 90 graus, o que acontece quando as duas retas são perpendiculares. Em qualquer outro cruzamento, o par oposto é formado por dois ângulos agudos ou por dois obtusos.

O par que é sempre suplementar é o dos vizinhos. Dois ângulos lado a lado ao longo de uma reta formam um par linear, e sempre somam 180. Assim, cada cruzamento tem dois pares opostos pelo vértice (iguais) e quatro pares lineares (que somam 180). Separe bem esses dois casos e a maioria dos diagramas de ângulos se resolve sem transferidor. Todos os nomes estão no nosso guia sobre tipos de ângulos.

Se você já usou um transferidor, já viu um par linear. Os dois números impressos sob um lado, como 127 em uma escala e 53 na outra, sempre somam 180. Eles são o ângulo e seu vizinho ao longo da linha de base, e é por isso que ler a escala interna e a externa se resume a escolher o número certo.

Como identificar ângulos opostos pelo vértice em um diagrama cheio

Ângulos opostos pelo vértice precisam de duas retas que passem direto pelo vértice. Dois ângulos que só parecem opostos não contam, e é aqui que acontece a maioria dos erros.

• Confira se as duas linhas passam retas pelo ponto. Se uma "reta" dobra no vértice, você tem três ou quatro semirretas separadas, e os ângulos de frente um para o outro podem ter qualquer medida.
• Uma semirreta que termina no vértice não conta. Um cruzamento em T tem um par linear de cada lado da haste e nenhum par oposto pelo vértice.
• Com mais retas passando por um ponto, forme os pares com cuidado. Três retas por um ponto formam seis ângulos e três pares opostos pelo vértice. O par de um ângulo é o que está bem à frente dele, com o mesmo número de ângulos entre os dois de cada lado.
• Não tire a medida do desenho. A menos que a figura diga que está em escala, um ângulo de 70 graus pode ser desenhado parecendo ter 50.
• Em diagramas com retas paralelas, cada cruzamento tem seus próprios dois pares opostos. Ângulos na mesma posição em cruzamentos diferentes são ângulos correspondentes, que é outra regra.

Onde os ângulos opostos pelo vértice aparecem fora do livro

Em qualquer coisa em forma de X com braços retos. As pernas de um cavalete dobrável em X ou de um banquinho de acampamento se cruzam em um parafuso, então a abertura em cima é igual à abertura no chão. Ajuste a parte de cima para 50 graus e os pés também abrem 50. Uma travessa diagonal em um portão ou painel de cerca faz a mesma coisa: meça o ângulo acima do cruzamento e você já sabe o de baixo sem mover a ferramenta.

Cruzamentos de ruas e de trilhos são outro exemplo. Duas ruas retas que se encontram na diagonal formam duas esquinas fechadas e duas abertas, e as fechadas ficam em diagonal uma da outra, com o mesmo ângulo. Se um meio-fio ou uma placa atrapalha uma esquina, meça a esquina diagonalmente oposta.

Use ângulos opostos pelo vértice para conferir a leitura do transferidor

Meça os quatro ângulos de um cruzamento e compare. Os pares opostos devem coincidir, cada par de vizinhos deve somar 180, e os quatro devem totalizar 360. Se as duas leituras de um par oposto diferirem em mais de um grau, o transferidor foi mal posicionado em uma delas. Centralize de novo e leia outra vez.

Vale a pena fazer essa conferência porque um transferidor não divide o grau com muita precisão. Em um transferidor com raio de 50 mm, um grau ao longo do arco tem só 0,87 mm de largura, então meio grau é mais ou menos o melhor que dá para ler a olho. Um raio de 100 mm dobra esse espaçamento para 1,75 mm. Se você imprimir o seu com a ferramenta de transferidor, use o maior raio que caiba na página, trace as retas compridas o bastante para passar da escala e meça os dois ângulos do par. Quando os dois números batem, você pode confiar neles.

Um X desenhado também serve de teste rápido para uma impressão nova. Trace duas retas compridas que se cruzem perto do meio de uma folha, meça um ângulo e depois meça o que está à frente dele. Leituras iguais indicam que o posicionamento está correto. Para as outras coisas que custam graus, veja precisão do transferidor.

Fontes: Euclid, Elements, Book I, Proposition 15 e seu corolário, na edição online de D.E. Joyce (Clark University). A atribuição a Tales vem de Proclo, Commentary on the First Book of Euclid's Elements, citando Eudemo de Rodes, conforme citado em cut-the-knot.org (Thales' Theorems). Ano escolar segundo os Common Core State Standards for Mathematics, 7.G.B.5. Etimologia de vertical segundo o Online Etymology Dictionary. Redação da justificativa de prova segundo o critério de correção do Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A, Paper 2, novembro de 2020. O espaçamento do arco (0,87 mm por grau com raio de 50 mm) é 2 x pi x 50 / 360.

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