¿Los ángulos opuestos por el vértice son siempre congruentes?

Sí. Siempre que dos rectas se cruzan, los ángulos que quedan justo enfrente uno del otro tienen la misma medida, así que son congruentes. Esto se cumple en cualquier cruce, sea muy inclinado o muy abierto. Es la Proposición I.15 de Euclides, y la demostración solo usa el hecho de que los ángulos a lo largo de una recta suman 180 grados.

¿Los ángulos opuestos por el vértice suman 180 grados?

Solo cuando las rectas son perpendiculares y cada ángulo mide 90. En los demás casos, no. Los ángulos que suman 180 son los vecinos, el par lineal que queda uno al lado del otro sobre una misma recta. Los cuatro ángulos de un cruce suman 360: dos ángulos iguales más otros dos ángulos iguales.

¿Qué diferencia hay entre ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes?

Los ángulos opuestos por el vértice quedan uno frente al otro en un cruce y solo comparten el punto de la esquina. Los ángulos adyacentes quedan uno junto al otro y comparten el punto de la esquina y un lado. Los opuestos por el vértice son iguales. Los adyacentes a lo largo de una recta suman 180.

¿"Vertically opposite angles" y "vertical angles" son lo mismo?

Sí, son dos nombres en inglés para lo mismo, que en español llamamos ángulos opuestos por el vértice. Los libros de texto de Estados Unidos dicen vertical angles, y los del Reino Unido y muchos países de la Commonwealth dicen vertically opposite angles. En ambos casos, "vertical" se refiere al vértice compartido, no a una dirección de arriba abajo.

¿Pueden ser obtusos los ángulos opuestos por el vértice?

Sí. En cualquier cruce que no sea en ángulo recto, un par opuesto es agudo y el otro es obtuso. Si un par mide 35 grados, el otro par mide 145 grados cada uno. El único cruce sin par obtuso es el perpendicular, donde los cuatro ángulos son rectos.

Guía

Angulos opuestos por el vertice

Los ángulos opuestos por el vértice son los dos ángulos que quedan uno frente al otro donde se cruzan dos rectas. Comparten el mismo punto de la esquina pero ningún lado, y siempre son iguales. Cada cruce forma dos pares de ellos. Si un ángulo de una X mide 40 grados, el ángulo justo enfrente también mide 40, y los otros dos ángulos miden 140 cada uno.

Dos rectas AB y CD que se cruzan en el punto E, con los ángulos opuestos AEC y BED marcados cada uno con 40 grados y un solo arco, y el otro par opuesto AED y CEB marcado cada uno con 140 grados y un arco doble

Es uno de los resultados más antiguos de la geometría. Euclides lo incluyó en los Elementos como Libro I, Proposición 15. El comentarista griego Proclo, que escribió más de 700 años después, transmitió la afirmación de Eudemo de Rodas de que Tales de Mileto había descubierto el hecho primero, en el siglo VI a. C., y de que fue Euclides quien le dio una demostración formal.

"Si dos rectas se cortan, hacen los ángulos opuestos por el vértice iguales entre sí."

Fuente: Euclides, Elements, Libro I, Proposición 15, edición de D.E. Joyce, Clark University: https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI15.html

Hoy es contenido de séptimo grado. El estándar 7.G.B.5 de Common Core pide a los alumnos usar propiedades de los ángulos suplementarios, complementarios, opuestos por el vértice y adyacentes para plantear y resolver ecuaciones con un ángulo desconocido.

¿Por qué se llaman ángulos opuestos por el vértice?

Porque comparten un vértice y están uno frente al otro respecto a ese punto. En español el nombre lo dice claramente. En inglés se llaman vertical angles, y ahí la palabra confunde: vertical viene del latín vertex, y en inglés significó primero "en el vértice" o "justo encima". El sentido de arriba abajo no aparece registrado hasta 1704, según el Online Etymology Dictionary. Las escuelas del Reino Unido evitan la confusión llamándolos vertically opposite angles.

El nombre en inglés confunde con razón. Dibuja dos rectas que se crucen como una X aplastada, con el par de ángulos estrechos abriéndose a izquierda y derecha, y los ángulos "verticales" quedan tumbados. Gira el papel 90 grados y nada en ellos cambia. Lo que importa es dónde están los ángulos respecto al punto de la esquina, y la orientación en la página no tiene nada que ver.

¿Por qué los ángulos opuestos por el vértice son siempre iguales?

Porque cada uno se suma al mismo vecino para formar una recta. Los ángulos a lo largo de una recta suman 180 grados. Así que los dos ángulos de un par opuesto valen 180 menos el ángulo que hay entre ellos. Dos cosas iguales a una misma cantidad son iguales entre sí. Esa es toda la demostración, y funciona para cualquier cruce.

Aquí está con letras, tal como la planteó Euclides. La recta AB y la recta CD se cruzan en el punto E.

El ángulo AEC y el ángulo CEB están uno junto al otro sobre la recta AB, así que suman 180 grados.
El ángulo CEB y el ángulo BED están uno junto al otro sobre la recta CD, así que también suman 180 grados.
Las dos sumas contienen el ángulo CEB. Quítalo de cada una y lo que queda tiene que coincidir.
Por tanto, el ángulo AEC es igual al ángulo BED. Los mismos pasos con el ángulo AED en medio demuestran que el ángulo CEB es igual al ángulo AED.

Nada en esos cuatro pasos depende de la inclinación de las rectas. Un cruce muy cerrado de 12 grados y uno casi recto de 88 grados siguen la misma regla. Los Elementos añaden un corolario, posiblemente agregado por un editor posterior: los cuatro ángulos del cruce suman cuatro ángulos rectos, es decir, 360 grados.

¿Cómo se halla un ángulo opuesto por el vértice que falta?

Mira justo al otro lado del cruce. El ángulo opuesto al desconocido tiene la misma medida, así que cópialo. Si en cambio te dan un ángulo vecino, réstalo de 180. Con un solo ángulo conocido puedes completar los cuatro: dos copias de ese ángulo y dos copias de 180 menos ese ángulo.

Supón que un ángulo de una intersección mide 63 grados. El ángulo opuesto mide 63. Los dos vecinos miden 180 menos 63, es decir, 117 cada uno. Comprueba el total: 63 más 63 más 117 más 117 es 360. Correcto.

Los problemas de álgebra usan las mismas dos propiedades, y la única pregunta es cuál se aplica. Elige según dónde estén los ángulos.

Uno frente al otro: iguala las expresiones. Si un ángulo es 3x + 10 y el ángulo opuesto es 5x - 30, entonces 3x + 10 = 5x - 30, así que 40 = 2x y x = 20. Los dos ángulos miden 70 grados, y el otro par mide 110.
Uno junto al otro sobre una recta: súmalos e iguala a 180. Si los ángulos son 2x y x + 30, entonces 3x + 30 = 180, así que x = 50. Los ángulos miden 100 y 80, y sus opuestos también miden 100 y 80.

El error fácil es usar la ecuación equivocada, así que decide "opuestos o uno junto al otro" antes de escribir nada. En los exámenes del Reino Unido, escribe también la justificación. El criterio de corrección del Pearson Edexcel International GCSE de noviembre de 2020 incluye "vertically opposite angles are equal" (los ángulos opuestos por el vértice son iguales) entre las justificaciones que dan un punto de método, así que vale la pena escribir la frase completa.

¿Los ángulos opuestos por el vértice son adyacentes o suplementarios?

Nunca son adyacentes, y solo son suplementarios en un caso. Los ángulos adyacentes comparten un lado, y los opuestos por el vértice solo comparten el punto de la esquina. Suman 180 solo cuando cada uno mide 90 grados, lo que ocurre cuando las dos rectas son perpendiculares. En cualquier otro cruce, el par opuesto es o bien agudo o bien obtuso, los dos a la vez.

El par que es suplementario siempre es el de los vecinos. Dos ángulos uno junto al otro a lo largo de una recta forman un par lineal, y siempre suman 180. Así que cada cruce te da dos pares opuestos por el vértice (iguales) y cuatro pares lineales (que suman 180). Si no los confundes, la mayoría de los diagramas de ángulos se resuelven solos sin transportador. La lista completa de nombres está en nuestra guía de tipos de ángulos.

Si has usado un transportador, ya has visto un par lineal. Los dos números impresos bajo un lado, como 127 en una escala y 53 en la otra, siempre suman 180. Son el ángulo y su vecino a lo largo de la línea base, y por eso leer la escala interior y exterior se reduce a elegir el correcto.

Cómo reconocer ángulos opuestos por el vértice en un diagrama complicado

Los ángulos opuestos por el vértice necesitan dos rectas que pasen de lado a lado por el punto de la esquina. Dos ángulos que solo parecen opuestos no cuentan, y aquí es donde ocurren la mayoría de los errores.

Comprueba que las dos rectas atraviesan el punto sin desviarse. Si una "recta" se dobla en la esquina, tienes tres o cuatro semirrectas separadas, y los ángulos enfrentados pueden medir cualquier cosa.
Una semirrecta que termina en la esquina no cuenta. Una unión en forma de T tiene un par lineal a cada lado del trazo vertical y ningún par opuesto por el vértice.
Con más rectas por un mismo punto, empareja con cuidado. Tres rectas por un punto forman seis ángulos y tres pares opuestos por el vértice. La pareja de un ángulo es la que está justo enfrente, con el mismo número de ángulos entre ambos a cada lado.
No deduzcas el tamaño a partir del dibujo. Salvo que la figura diga que está a escala, un ángulo de 70 grados puede estar dibujado como si midiera 50.
En diagramas de rectas paralelas, cada cruce tiene sus propios dos pares opuestos por el vértice. Los ángulos que ocupan la misma posición en cruces distintos son ángulos correspondientes, que es otra regla.

Dónde aparecen los ángulos opuestos por el vértice fuera del libro de texto

En cualquier cosa con forma de X y brazos rectos. Las patas de un caballete plegable en X o de un taburete de camping se cruzan en un perno, así que la abertura de arriba coincide con la abertura del suelo. Ajusta la parte de arriba a 50 grados y las patas se abren también a 50. Un travesaño en diagonal en una puerta o un panel de valla hace lo mismo: mide el ángulo por encima del cruce y ya conoces el de abajo sin mover la herramienta.

Los cruces de carreteras y vías de tren son otro caso. Dos carreteras rectas que se encuentran en diagonal forman dos esquinas cerradas y dos esquinas abiertas, y las cerradas quedan en diagonal una frente a la otra con el mismo ángulo. Si un bordillo o una señal tapa una esquina, mide la esquina que está en diagonal frente a ella.

Usa los ángulos opuestos por el vértice para comprobar tu lectura del transportador

Mide los cuatro ángulos de un cruce y compáralos. Los pares opuestos deben coincidir, cada par de vecinos debe sumar 180, y los cuatro deben sumar 360. Si las dos lecturas de un par opuesto difieren en más de un grado, el transportador estaba mal colocado en una de ellas. Vuelve a centrarlo y lee otra vez.

Vale la pena hacer esa comprobación porque un transportador no permite dividir un grado con precisión. En un transportador de 50 mm de radio, un grado a lo largo del arco mide solo 0,87 mm, así que medio grado es más o menos lo mejor que puedes leer a simple vista. Un radio de 100 mm duplica esa separación a 1,75 mm. Si imprimes el tuyo con la herramienta de transportador, usa el radio más grande que quepa en la página, traza las rectas lo bastante largas para que pasen de la escala y mide los dos ángulos del par. Cuando los dos números coinciden, puedes fiarte de ellos.

Una X dibujada también sirve como prueba rápida para una impresión nueva. Traza con regla dos rectas largas que se crucen cerca del centro de una hoja, mide un ángulo y luego mide el que está enfrente. Si las lecturas coinciden, tu colocación es correcta. Para las demás cosas que te hacen perder grados, consulta la precisión del transportador.

Fuentes: Euclides, Elements, Libro I, Proposición 15 y su corolario, en la edición en línea de D.E. Joyce (Clark University). La atribución a Tales procede de Proclo, Commentary on the First Book of Euclid's Elements, que cita a Eudemo de Rodas, según la cita de cut-the-knot.org (Thales' Theorems). Nivel escolar según los Common Core State Standards for Mathematics, 7.G.B.5. Etimología de vertical según el Online Etymology Dictionary. Redacción de la justificación de examen según el criterio de corrección del Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A, Paper 2, noviembre de 2020. La separación en el arco (0,87 mm por grado con 50 mm de radio) es 2 x pi x 50 / 360.