Ergeben Scheitelwinkel zusammen 180 Grad?

Nur wenn die Geraden senkrecht aufeinander stehen und jeder Winkel 90 beträgt. Sonst nicht. Zusammen 180 ergeben die Nachbarn, also die Nebenwinkel, die auf einer Geraden direkt nebeneinander liegen. Alle vier Winkel an einer Kreuzung ergeben zusammen 360: zwei gleiche Winkel plus zwei weitere gleiche Winkel.

Was ist der Unterschied zwischen Scheitelwinkeln und benachbarten Winkeln?

Scheitelwinkel liegen sich an einer Kreuzung gegenüber und haben nur den Scheitelpunkt gemeinsam. Benachbarte Winkel liegen nebeneinander und haben einen Scheitelpunkt und einen Schenkel gemeinsam. Scheitelwinkel sind gleich groß. Benachbarte Winkel entlang einer Geraden ergeben zusammen 180.

Sind "vertically opposite angles" dasselbe wie "vertical angles"?

Ja, das sind zwei englische Namen für dieselbe Sache, und im Deutschen heißen beide Scheitelwinkel. US-Schulbücher sagen vertical angles, Schulbücher in Großbritannien und vielen Commonwealth-Ländern sagen vertically opposite angles. In beiden Fällen bezieht sich "vertical" auf den gemeinsamen Scheitelpunkt (englisch vertex) und nicht auf eine senkrechte Richtung.

Können Scheitelwinkel stumpf sein?

Ja. An jeder Kreuzung, die nicht rechtwinklig ist, ist ein Paar Scheitelwinkel spitz und das andere stumpf. Misst ein Paar 35 Grad, misst das andere Paar je 145 Grad. Die einzige Kreuzung ohne stumpfes Paar ist eine senkrechte, bei der alle vier Winkel rechte Winkel sind.

Anleitung

Scheitelwinkel: warum sie immer gleich gross sind

Q: Sind Scheitelwinkel immer gleich groß?

Ja. Immer wenn sich zwei Geraden schneiden, haben die einander direkt gegenüberliegenden Winkel dasselbe Maß, sie sind also kongruent. Das gilt an jeder Kreuzung, egal wie steil oder flach sie ist. Es ist Proposition I.15 bei Euklid, und der Beweis nutzt nur die Tatsache, dass Winkel entlang einer Geraden zusammen 180 Grad ergeben.

Scheitelwinkel sind die beiden Winkel, die sich gegenüberliegen, wo sich zwei Geraden kreuzen. Sie haben denselben Scheitelpunkt, aber keinen gemeinsamen Schenkel, und sie sind immer gleich groß. Jede Kreuzung bildet zwei solcher Paare. Misst ein Winkel an einem X 40 Grad, misst der direkt gegenüberliegende ebenfalls 40, und die beiden anderen Winkel messen je 140.

Zwei Geraden AB und CD, die sich im Punkt E schneiden, mit den gegenüberliegenden Winkeln AEC und BED, jeweils mit einem einfachen Bogen als 40 Grad markiert, und dem anderen gegenüberliegenden Paar AED und CEB, jeweils mit einem Doppelbogen als 140 Grad markiert

Das ist eines der ältesten Ergebnisse der Geometrie. Euklid nahm es in die Elemente als Buch I, Proposition 15 auf. Der griechische Kommentator Proklos, der mehr als 700 Jahre später schrieb, gab eine Behauptung von Eudemos von Rhodos weiter: Thales von Milet habe die Tatsache als Erster gefunden, im sechsten Jahrhundert v. Chr., und Euklid sei derjenige gewesen, der sie sauber bewiesen hat.

"Wenn zwei gerade Linien einander schneiden, dann machen sie die Scheitelwinkel einander gleich."

Quelle: Euklid, Elements, Buch I, Proposition 15, Ausgabe von D.E. Joyce, Clark University: https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI15.html

Heute ist das Stoff der 7. Klasse. Der Common-Core-Standard 7.G.B.5 verlangt, dass Lernende Tatsachen über Ergänzungswinkel, Komplementwinkel, Scheitelwinkel und benachbarte Winkel nutzen, um Gleichungen für einen unbekannten Winkel aufzustellen und zu lösen.

Warum heißen sie Scheitelwinkel?

Weil sie sich einen Scheitelpunkt teilen. Der deutsche Name sagt das direkt. Beim englischen Begriff vertical angles ist es weniger offensichtlich, denn vertical klingt nach "senkrecht". Das Wort stammt aber vom lateinischen vertex, und im Englischen bedeutete es zuerst "am Scheitelpunkt" oder "direkt darüber". Die Bedeutung "senkrecht" ist laut dem Online Etymology Dictionary erst ab 1704 belegt. Schulen in Großbritannien umgehen die Verwechslung, indem sie von vertically opposite angles sprechen.

Der englische Name verwirrt aus gutem Grund. Zeichnen Sie zwei Geraden, die sich wie ein flach gedrücktes X kreuzen, sodass sich das Paar schmaler Winkel nach links und rechts öffnet, dann liegen die "vertical" angles auf der Seite. Drehen Sie das Blatt um 90 Grad, und an ihnen ändert sich nichts. Der Name beschreibt, wo die Winkel im Verhältnis zum Scheitelpunkt liegen, und die Ausrichtung auf dem Blatt hat damit nichts zu tun.

Warum sind Scheitelwinkel immer gleich groß?

Weil jeder von ihnen mit demselben Nachbarn zusammen eine Gerade bildet. Winkel entlang einer Geraden ergeben zusammen 180 Grad. Also sind beide Winkel eines Scheitelwinkelpaars gleich 180 minus den Winkel zwischen ihnen. Zwei Dinge, die demselben Betrag gleich sind, sind auch einander gleich. Das ist der ganze Beweis, und er gilt für jede Kreuzung.

Hier ist er mit Buchstaben, so wie Euklid ihn aufgeschrieben hat. Die Gerade AB und die Gerade CD schneiden sich im Punkt E.

Winkel AEC und Winkel CEB liegen nebeneinander entlang der Geraden AB, also ergeben sie zusammen 180 Grad.
Winkel CEB und Winkel BED liegen nebeneinander entlang der Geraden CD, also ergeben auch sie zusammen 180 Grad.
Beide Summen enthalten Winkel CEB. Ziehen Sie ihn jeweils ab, dann muss der Rest übereinstimmen.
Also ist Winkel AEC gleich Winkel BED. Dieselben Schritte mit Winkel AED in der Mitte zeigen, dass Winkel CEB gleich Winkel AED ist.

Nichts in diesen vier Schritten hängt davon ab, wie steil die Geraden sind. Eine flache Kreuzung mit 12 Grad und eine fast rechtwinklige mit 88 Grad folgen derselben Regel. In den Elementen folgt darauf ein Zusatz, möglicherweise von einem späteren Bearbeiter ergänzt: Die vier Winkel an der Kreuzung ergeben zusammen vier rechte Winkel, also 360 Grad.

Wie findet man einen fehlenden Scheitelwinkel?

Schauen Sie direkt über die Kreuzung hinweg. Der Winkel gegenüber dem unbekannten hat dasselbe Maß, also übernehmen Sie ihn. Ist stattdessen ein Nachbarwinkel gegeben, ziehen Sie ihn von 180 ab. Mit einem bekannten Winkel können Sie alle vier bestimmen: zweimal den Winkel selbst und zweimal 180 minus diesen Winkel.

Angenommen, ein Winkel an einem Schnittpunkt misst 63 Grad. Der gegenüberliegende Winkel misst 63. Die beiden Nachbarn messen 180 minus 63, also je 117. Prüfen Sie die Summe: 63 plus 63 plus 117 plus 117 ergibt 360. Passt.

Algebraaufgaben nutzen dieselben zwei Tatsachen, und die einzige Frage ist, welche davon gilt. Entscheiden Sie danach, wo die Winkel liegen.

Gegenüber: Setzen Sie die Terme gleich. Ist ein Winkel 3x + 10 und der gegenüberliegende 5x - 30, dann gilt 3x + 10 = 5x - 30, also 40 = 2x und x = 20. Beide Winkel messen 70 Grad, und das andere Paar misst 110.
Nebeneinander auf einer Geraden: Addieren Sie zu 180. Sind die Winkel 2x und x + 30, dann gilt 3x + 30 = 180, also x = 50. Die Winkel messen 100 und 80, und die ihnen gegenüberliegenden ebenfalls 100 und 80.

Der typische Ausrutscher ist die falsche Gleichung, also entscheiden Sie "gegenüber oder nebeneinander", bevor Sie etwas aufschreiben. In britischen Prüfungen schreiben Sie auch die Begründung dazu. Das Bewertungsschema des Pearson Edexcel International GCSE vom November 2020 führt "vertically opposite angles are equal" (Scheitelwinkel sind gleich groß) unter den Begründungen auf, die einen Methodenpunkt bringen, daher lohnt es sich, den vollständigen Satz auszuschreiben.

Sind Scheitelwinkel benachbart oder ergänzend?

Nie benachbart, und ergänzend nur in einem Fall. Benachbarte Winkel haben einen Schenkel gemeinsam, Scheitelwinkel nur den Scheitelpunkt. Sie ergeben zusammen nur dann 180, wenn jeder 90 Grad misst, und das passiert, wenn die beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen. An jeder anderen Kreuzung sind beide Scheitelwinkel eines Paars entweder spitz oder stumpf.

Das Paar, das jedes Mal zusammen 180 ergibt, sind die Nachbarn. Zwei Winkel, die entlang einer Geraden nebeneinander liegen, heißen Nebenwinkel, und sie ergeben immer zusammen 180. Jede Kreuzung liefert Ihnen also zwei Scheitelwinkelpaare (gleich groß) und vier Nebenwinkelpaare (zusammen 180). Halten Sie diese auseinander, dann lösen sich die meisten Winkelskizzen ohne Winkelmesser. Alle Bezeichnungen finden Sie in unserem Leitfaden zu den Winkelarten.

Nebenwinkel haben Sie schon gesehen, wenn Sie einen Winkelmesser benutzt haben. Die beiden Zahlen unter einem Schenkel, etwa 127 auf der einen Skala und 53 auf der anderen, ergeben immer zusammen 180. Sie sind der Winkel und sein Nachbar entlang der Grundlinie, und deshalb läuft das Ablesen der inneren und äußeren Skala darauf hinaus, die richtige Zahl zu wählen.

Scheitelwinkel in einer unübersichtlichen Zeichnung erkennen

Scheitelwinkel brauchen zwei Geraden, die direkt durch den Scheitelpunkt hindurchlaufen. Zwei Winkel, die nur gegenüberliegend aussehen, zählen nicht, und genau hier passieren die meisten Fehler.

Prüfen Sie, ob beide Linien gerade hindurchlaufen. Knickt eine "Gerade" am Scheitelpunkt ab, haben Sie drei oder vier einzelne Strahlen, und die gegenüberliegenden Winkel können beliebig groß sein.
Ein Strahl, der am Scheitelpunkt endet, zählt nicht. Eine T-Kreuzung hat auf jeder Seite des Stamms ein Nebenwinkelpaar und kein Scheitelwinkelpaar.
Bei mehr Geraden durch einen Punkt ordnen Sie die Paare sorgfältig zu. Drei Geraden durch einen Punkt ergeben sechs Winkel und drei Scheitelwinkelpaare. Der Partner eines Winkels ist der direkt gegenüberliegende, mit gleich vielen Winkeln auf beiden Seiten dazwischen.
Lesen Sie die Größe nicht aus der Zeichnung ab. Solange nicht angegeben ist, dass eine Figur maßstabsgetreu gezeichnet ist, kann ein Winkel von 70 Grad so skizziert sein, dass er wie 50 aussieht.
In Zeichnungen mit parallelen Geraden hat jede Kreuzung ihre eigenen zwei Scheitelwinkelpaare. Winkel in derselben Lage an verschiedenen Kreuzungen sind Stufenwinkel, und dafür gilt eine eigene Regel.

Wo Scheitelwinkel außerhalb des Schulbuchs vorkommen

Überall, wo etwas wie ein X mit geraden Armen geformt ist. Die Beine eines klappbaren Sägebocks mit X-Gestell oder eines Campinghockers kreuzen sich an einem Bolzen, daher entspricht die Öffnung oben der Öffnung am Boden. Stellen Sie oben 50 Grad ein, dann spreizen sich die Füße ebenfalls um 50 Grad. Eine Querstrebe an einem Tor oder Zaunfeld funktioniert genauso: Messen Sie den Winkel über der Kreuzung, und Sie kennen den darunter, ohne das Werkzeug umzusetzen.

Straßen- und Bahnkreuzungen sind ein weiteres Beispiel. Zwei gerade Straßen, die sich schräg treffen, bilden zwei spitze und zwei weite Ecken, und die spitzen liegen sich diagonal gegenüber und haben denselben Winkel. Versperrt ein Bordstein oder ein Schild eine Ecke, messen Sie stattdessen die diagonal gegenüberliegende Ecke.

Mit Scheitelwinkeln die Ablesung am Winkelmesser prüfen

Messen Sie alle vier Winkel an einer Kreuzung und vergleichen Sie. Die gegenüberliegenden Paare sollten übereinstimmen, jedes Nachbarpaar sollte zusammen 180 ergeben, und alle vier sollten zusammen 360 ergeben. Weichen die beiden Ablesungen eines Scheitelwinkelpaars um mehr als ein Grad voneinander ab, lag der Winkelmesser bei einer davon falsch. Zentrieren Sie ihn neu und lesen Sie noch einmal ab.

Diese Prüfung lohnt sich, weil ein Winkelmesser ein Grad nicht fein unterteilen kann. Bei einem Winkelmesser mit 50 mm Radius ist ein Grad entlang des Bogens nur 0,87 mm breit, also ist ein halbes Grad etwa das Beste, was Sie mit bloßem Auge ablesen können. Ein Radius von 100 mm verdoppelt diesen Abstand auf 1,75 mm. Wenn Sie sich mit dem Winkelmesser-Werkzeug selbst einen drucken, wählen Sie den größten Radius, den die Seite zulässt, zeichnen Sie die Linien lang genug, damit sie über die Skala hinausreichen, und messen Sie beide Winkel des Paars. Wenn die beiden Zahlen übereinstimmen, können Sie ihnen vertrauen.

Ein gezeichnetes X ist auch ein schneller Test für einen neuen Ausdruck. Ziehen Sie mit dem Lineal zwei lange Linien, die sich nahe der Blattmitte kreuzen, messen Sie einen Winkel und dann den gegenüberliegenden. Stimmen die Ablesungen überein, sitzt Ihre Auflage richtig. Zu den anderen Dingen, die Grad kosten, siehe Genauigkeit des Winkelmessers.

Quellen: Euklid, Elements, Buch I, Proposition 15 und der zugehörige Zusatz, in der Online-Ausgabe von D.E. Joyce (Clark University). Die Zuschreibung an Thales stammt von Proklos, Commentary on the First Book of Euclid's Elements, der Eudemos von Rhodos zitiert, wiedergegeben auf cut-the-knot.org (Thales' Theorems). Die Einordnung in die Klassenstufe nach den Common Core State Standards for Mathematics, 7.G.B.5. Die Etymologie von vertical nach dem Online Etymology Dictionary. Der Wortlaut der Prüfungsbegründung nach dem Bewertungsschema des Pearson Edexcel International GCSE Mathematics A, Paper 2, November 2020. Der Strichabstand (0,87 mm pro Grad bei 50 mm Radius) ist 2 x pi x 50 / 360.